Rozptyl provozního zatížení odmítnutého z obousměrného svazku

V příspěvku je provedeno odvození zobecněného vztahu pro výpočet rozptylu odmítnutého provozního zatížení použitelného pro přelivové toky z obousměrných svazků. Předpokládá se, že je obsluhovému systému nabízeno několik navzájem nezávislých toků provozního zatížení.

---

Abstract

The contribution is focused on the derivation of general equation that evaluates the variance of refused traffic. The resulting equation is valid in all cases, where the service system is being offered multiple traffic flows of the type PCT1. It allows determination of the variance of the flow formed by demands coming from one flow. Equations for evaluation of the variance of the traffic rejected from unidirectional and bidirectional trunks are only special cases of the derived formula. At the end of the contribution the result is verified by simulation.

---

1 Úvod

Telekomunikační síť se spojováním okruhů může být za jistých předpokladů modelována jako soustava obsluhových systémů M/M/N/0 dle Kendallovy klasifikace. Při dimenzování sítí s přelivem se často používá Wilkinsonova dvouparametrová metoda publikovaná v [1]. K jejímu použití je nutné stanovit rozptyl odmítnutého provozního zatížení pomocí vztahu:

kde

a

je

střední hodnota provozního zatížení nabízeného svazku,

x

počet obsluhových linek,

m

střední hodnota odmítnutého provozního zatížení,

v

rozptyl odmítnutého provozního zatížení.

Tento vztah je přímo použitelný pro výpočet provozního zatížení odmítnutého z jednosměrného svazku. Složitějším případem je ovšem výpočet rozptylu provozního zatížení odmítnutého obousměrným svazkem, viz obr.1.

Obrázek 1: Obousměrný svazek mezi uzly A a B s přelivem v uzlu A.

Předpokládejme, bez větší újmy na praktické použitelnosti, že nabídky provozního zatížení z uzlu A do uzlu B (a₁) a z uzlu B do uzlu A (a₂) jsou navzájem nezávislé. Obousměrný svazek je potom možné popsat jako obsluhový systém, jemuž je nabízeno provozní zatížení a_c = a₁ + a₂. Na rozdíl od jednosměrného svazku je však v tomto případě nutné uvažovat dva odmítnuté toky provozního zatížení. Jeden je tvořen odmítnutými požadavky, jež byly součástí toku a₁, a druhý požadavky pocházejícími z nabízeného toku a₂. Pro tento případ ovšem vztah 1 není použitelný.

Obsahem tohoto článku je odvození zobecněného vztahu pro výpočet rozptylu odmítnutého provozního zatížení. Výsledný vztah postihuje všechny případy, kdy je obsluhovému systému nabízeno více toků provozního zatížení typu PCT1 a je třeba stanovit rozptyl části odmítnutého provozního zatížení tvořené požadavky, jež byly součástí pouze jednoho z nabízených toků. Vztahy pro výpočet rozptylu odmítnutého zatížení z jednosměrných a obousměrných svazků jsou pak speciálním případem odvozeného vztahu. Uvedené odvození je zobecněním postupu uvedeného v [1], a proto je značení proměnných pro zjednodušení porovnání ponecháno ve shodě s původním textem.

2 Popis systémů s přelivem provozního zatížení

Odvození vztahu pro rozptyl odmítnutého zatížení vychází z popisu obsluhového systému pomocí Markovských řetězců. Pakliže zkoumáme pouze vlastnosti přímého toku provozního zatížení, může se obsluhový systém nacházet v x + 1 stavech, kde x je počet obsluhových linek. Intenzita přechodu mezi stavy m a m + 1 je pak λ_m a mezi stavy m a m - 1 je μ_m, přičemž ze stavu 0 může systém přejít pouze do stavu 1 a ze stavu N pouze do stavu N - 1. Jiné přechody nejsou možné. Vzhledem k tomu, že se předpokládá nabízený tok provozního zatížení typu PCT1, platí λ_m = λ pro m < N a μ_m = m · μ, kde λ je intenzita příchodů požadavků nabízených systému a μ intenzita obsluhy jedné obsluhové linky.

Pokud jsou ovšem předmětem zájmu také vlastnosti odmítnutého toku provozního zatížení, popisuje se systém jako soustava dvou svazků, přímého o N obsluhových linkách a (fiktivního) přelivového s obsluhových linek. Stavy systému jsou pak popisovány uspořádanou dvojicí (m,n), kde m je počet obsazených obsluhových linek přímého svazku a n přelivového svazku. Intenzity přechodů ze stavu (m,n) do stavu (m + 1,n) a z (m,n) do (m - 1,n) jsou totožné s předchozím případem. Navíc ovšem, předpokládáme-li stejnou intenzitu obsluhy μ obsluhových linek přímého i přelivového svazku, systém přechází ze stavů (m,n) do stavů (m,n - 1) (pro n > 0) s intenzitou μ. Tento přechod odpovídá uvolnění obsluhové linky v přelivovém svazku. Pokud je systém ve stavu (x,n), tj. jsou obsazeny všechny obsluhové linky přímého svazku, přechází s intenzitou λ do stavu (x,n + 1). Ze soustavy rovnic popisujících přechody mezi stavy systému lze pak stanovit i rozptyl provozního zatížení přeneseného přelivovým svazkem, jak bylo provedeno J.Riordanem v [1].

Úplný popis obousměrného svazku jako systému s jedním nabízeným tokem provozního zatížení, který se skládá ze dvou nezávislých toků a₁ a a₂, a dvěma toky odmítnutého provozního zatížení by pak vyžadoval popis pomocí "třírozměrného řetězce". Jednotlivé stavy by byly popsány uspořádanou trojicí čísel (m,n,o). Cílem této práce je však odvození vztahu pro rozptyl jednoho z odmítnutých toků provozního zatížení, a tak je možné vyhnout se úplnému popisu systému. Zkoumáme-li požadavky z nabízeného toku a₁ odmítnuté přímým svazkem, pak již není nutné zabývat se odmítnutými požadavky pocházejícími z toku a₂. Popis systému je pak obdobný jako v předchozím případě s tím rozdílem, že intenzita přechodu ze stavu (m,n) do stavu (m + 1,n) je, za předpokladu nezávislosti nabízených toků provozního zatížení, rovna součtu dílčích intenzit λ_c = λ₁ + λ₂, kde λ₁, resp. λ₂ jsou intenzity příchodů požadavků toků a₁ a a₂ (pozn. v dalším a_c = a₁ + a₂), viz obr.2. Odvozený vzorec je potom možné použít pro výpočet rozptylu toku odmítnutých požadavků, které pocházejí z jednoho nabízeného toku provozního zatížení, přičemž nabízen může být libovolný počet toků provozního zatížení, pakliže jsou navzájem nezávislé.

Obrázek 2: Uspořádání stavů systému a intenzit přechodů mezi nimi.

3 Odvození zobecněného vztahu pro rozptyl odmítnutého provozního zatížení

Uvedený systém lze popsat soustavou rovnic pro m < x

a pro m = x

Tedy po úpravě a zavedení označení a₁ = λ₁ / μ a a_c = (λ₁ + λ₂) / μ

K funkci f(m,n) je možné definovat její faktor moment:

kde

(n)₀ = 1 a (n)_k<0 = 0. Dále k tomuto momentu zavedeme exponenciální generující funkci

pro níž platí

Dále platí, že

a také

Užitím těchto vztahů je možné upravit rovnice (8) a (9) do tvaru

Po úpravě tedy dostáváme

Pro výše definovanou moment generující funkci platí

Užitím těchto vztahů tedy můžeme psát

a

Budiž zavedena následující obecná generující funkce:

pro kterou platí

Využitím těchto vztahů

Dále se řeší diferenciální rovnice:

Vzhledem k tomu, že pro obecnou generující funkci

platí a(0) = A(0), je určena konstanta c:

Dále se postupuje rozvojem řešení diferenciální rovnice do řad tak, aby bylo možné stanovit funkci M_(k)(m) odpovídající obecné generující funkci G_k(u). Nejprve budiž stanoven rozvoj funkce f(u) = (1 - u)^-k v Maclaurinovu řadu:

Příslušná Maclaurinova řada je tedy

Obecnou generující funkci G_k(u) můžeme tedy vyjádřit pomocí rozvoje v řady jako

Z toho tedy plyne, že

Pro G₀(u) platí

a tedy platí

Dále se zavede označení

pro σ₀(m) platí:

Dále se k posloupnosti σ_k(m) zavede obecná generující funkce

Z toho lze odvodit rekurentní vztahy

Dále platí

Potom tedy

Pro obecnou generující funkci g_k(u) platí:

Použitím vztahů (58) a (64) dostáváme

První z těchto vztahů se dá vyjádřit ve tvaru

Druhý vztah (70) se dá přeuspořádat do tvaru, který bude vhodný pro další postup:

Z druhého vztahu a z (9) plyne

Též platí

Dále iterací

Vzhledem k tomu, že

platí

a tedy

a tedy konečně

Pro samotné faktor momenty dostáváme vztah:

Mezi k-tým obecným momentem m_k

a k-tým faktor momentem M_k

platí následující vztahy

konkrétně tedy a výsledné momenty m_k =Σ ^x_m=0 m_k(m) jsou Dále využitím vztahu

dostáváme

Označme celkový tok odmítnutého provozního zatížení m_c:

kde E_1,x(a) je první Erlangova funkce, a můžeme pak psát

Pro hledaný druhý centrální moment v₂ tedy platí

4 Ověření platnosti vztahu simulací

Platnost vztahu byla ověřena simulací časově věrnou metodou pro vybrané dvojice středních hodnot nabízených vstupních toků a₁ a a₂. Stavy systému (počty obsazených obsluhových linek) byly zjišťovány vzorkováním v pevných intervalech. Parametry volené shodně pro všechny simulace byly:

délka jednoho simulačního úseku

tsim

= 50 h,

počet simulačních úseků

nsim

= 200,

interval vzorkování

tvz

= 1, 2 s,

střední doba obsluhy

tos

= 120 s,

počet obsluhových linek

x

= 30.

V následující tabulce jsou srovnány výsledky simulace s výpočty dle odvozeného vztahu. K výsledkům simulace jsou uvedeny též meze 95-procentního konfidenčního intervalu t_d a t_h. B značí ztrátu, V_vyp značí hodnotu rozptylu vypočtenou odvozeným vztahem, V_sim hodnotu rozptylu stanovenou simulací. Ostatní symboly mají výše definovaný význam.

5 Vlastnosti vztahu

Na obrázku 3 je ukázána závislost poměru rozptylu odmítnutého toku V a jeho střední hodnoty M na počtu vedení příčky N. V grafu jsou znázorněny průběhy pro různý poměr velikosti toku, který je odmítán odděleně a celkového toku. Z uvedeného vyplývá, že čím větší je celkový tok A_c v poměru proti toku A, tím menší je rozptyl odděleně odmítaného toku V .

Obrázek 3: Závislost poměru V/M na počtu vedení přímého svazku N.

6 Závěr

V této práci bylo provedeno odvození zobecněného vztahu pro výpočet rozptylu odmítnutého provozního zatížení, jenž mj. umožňuje výpočet tohoto rozptylu pro přelivové toky z obousměrných svazků. Předpokládá se, že je obsluhovému systému nabízeno několik navzájem nezávislých toků provozního zatížení. Pomocí odvozeného vztahu lze pak vyčíslit rozptyl toku odmítnutého provozního zatížení, jenž je tvořen požadavky, které pocházejí z jednoho z nabízených toků provozního zatížení:

kde

ac

je

součet všech toků provozního zatížení nabízených systému,

mc

součet všech toků odmítnutého provozního zatížení,

a1

jeden z nabízených toků provozního zatížení,

m1

tok odmítnutého provozního zatížení tvořený požadavky z toku a1,

x

počet obsluhových linek přímého svazku,

v

rozptyl toku odmítnutého provozního zatížení m1.

Tento vztah lze následně použít pro dimenzování popsaných obsluhových systémů s přelivem Wilkinsonovou metodou, a tedy i pro dimenzování obousměrných svazků s přelivem.

Použitá literatura