Výsledky výzkumu a další informace nejen
z oblasti přístupových telekomunikačních sítí.
Access server ISSN 1214-9675
Server vznikl za podpory Grantové agentury ČR.
15. ročník
Dnešní datum: 19. 09. 2017  Hlavní stránka | Seznam rubrik | Ke stažení | Odkazy  

Doporučujeme
Knihu o FTTx

Matlab server - on-line výpočty a simulace

E-learning - on-line kurzy

Trainingpoint - školení z oblasti TELCO a ICT

Kontakt
KTT FEL ČVUT
Napište nám

Redakční rada - pokyny pro autory a recenzenty

Copyright

Digitální zpracování signálu

* Aplikace Volterrova filtru druhého řádu v kmitočtové oblasti

Vydáno dne 27. 11. 2009 (2972 přečtení)

V článku je popsán návrh a realizace Volterrova filtru druhého řádu v kmitočtové oblasti.


Second order Volterra filter in frequency domain
Abstract

Non-linear adaptation alogarithm can be used in telecommunication services for echo cancellation. Advantage of these algorithms is based on wide range of use for spurious systems of different property. Linear origin of disturbance represents certain subset of these systems.

Keywords: Volterra filter, second order non-linear filter


Úvod

Lineární adaptivní filtry hrají důležitou roli při potlačování akustické ozvěny v telekomunikacích a při statistickém zpracování signálů [6]. Při praktických realizacích systému však často narážíme na nelineární povahu rušení, které není možné lineárním filtrem zcela potlačit [1]. Volterrova filtrace představuje mocný nástroj pro analýzu a modelování nelineárních systému [1], [2]. Tato práce se zabývá aplikací Volterrova filtru v kmitočtové oblasti s ohledem na zlepšení rychlosti konvergence a snížení výpočetních nároků tohoto filtru. Práce vychází z algoritmu MDF [3], kde nahrazuje lineární filtry nelineárními a rozděluje kvadratický člen Volterrova filtru na sadu lineárních filtrů s nelineárním buzením. Stejným cílem, ale s jiným přístupem se podobnou problematikou zabývá práce [6]. Zde popisovaný algoritmus pracující v kmitočtové oblasti využívá cyklické konvoluce popsané v [4] s konvergenčním kritériem LMS [6]. Jedná se o blokový gradientní algoritmus [7]. Hlavní nevýhodou Volterrových filtrů s dlouhou odezvou je pomalá konvergence a citlivost ke kvantizačním chybám [2], [4]. Tato nevýhoda je potlačena použitím mnoha Volterrových filtrů s krátkou odezvou řazených v kaskádě.

Definování pojmu

Pojem „impulsová odezva“, vyskytující se v tomto textu budeme označovat impulsovou odezvu lineárního časově neměnného (LTI) systému. Pojmem „odezva“ budeme označovat odezvu nelineárního časově neměnného (NTI) systému. V anglosaské literatuře je označována jako „systém kernel“. Pro systémovou funkci platí vzah

Volterr_01
(1)

kde reálná odezva o n proměnných

Volterr_02
je definovaná pro
Volterr_03
a platí
Volterr_04
Rovnice (1) popisuje homogenní systém stupně n.

Popis filtru v časové oblasti

Volterrovy filtry patří do třídy nelineárních nerekurzivních polynomiálních filtrů [1], [2] kombinující filtry založené na rozvoji do Taylorovy řady a lineární filtry. Polynomiální filtr bez paměti reprezentovaný Taylorovou řadou lze použít např. pro modelování systémů s obecnou saturační charakteristikou [2]. Základní myšlenka Volterrova filtru vychází z definování mnoha navzájem nezávislých bloků s jedinečnou n-rozměrnou odezvou reagující na danou kombinaci vstupního signálu. Toto lze vyjádřit

Volterr_05
(2)

kde

Volterr_06
vyjadřuje n-tý řád částečné odezvy systému. Komponenta nultého řádu představuje komponentu nezávislou na vstupním signálu, komponenta prvního řádu představuje lineární komponentu, komponenta druhého řádu přestavuje kvadratickou komponentu a tak dále. Pro odezvu jednotlivých komponent řádu n platí

Volterr_07
(3)

kde

Volterr_08
vyjadřuje n-rozměrnou odezvu. Upravením tohoto vztahu za předpokladu stacionarity a kauzality tohoto systému dostaneme

Volterr_09
(4)

Pro další zjednodušení budeme předpokládat symetrii koeficientů odezvy systému,

Volterr_10
a odezvu vyjádřitelnou v trojúhelníkovém tvaru

Volterr_11
(5)

Volterr_12
(6)

Dalším předpokladem je omezení délky odezev jednotlivých komponent hodnotou

Volterr_13
kde p vyjadřuje index dané komponenty. Toto omezení délky je přirozeným předpokladem při praktických realizacích filtru. Pro výsledný vztah popisující Volterův filtr v časové oblasti dostaneme

Volterr_14
(7)

Popis filtru v kmitočtové oblasti

V další úvaze se omezíme na Volterrův filtr druhého řádu s vynecháním nulté komponenty a délkou odezvy systému pro oba bloky rovnou

Volterr_15
Takto krátká odezva je sama o sobě pro potlačování akustické ozvěny nedostatečná, avšak při mnohonásobném spojení do bloku přináší mnoho výhod. Pro filtr v časové oblasti platí

Volterr_16
(8)

V kmitočtové oblasti bude obecně pro složku

Volterr_17
platit

Volterr_18
(9)

Převod kvadratické složky

Volterr_19
do kmitočtové oblasti bude probíhat podle schématu uvedeném na obr. 1. Dvourozměrná odezva je rozdělena na vektory koeficientů se stejným buzením. Tento krok je důležitý pro rozložení kvadratické komponenty na několik lineárních komponent s nelineárním buzením. Při délce filtru L=5lze uvažovat pouze deset možných kombinací vstupních prvků v mezích daného bloku dat.

Volterr_20

Obrázek 1: a) Blokové schéma kvadratické komponenty Volterrova filtru pro délku odezvy L(2) = 5 v kmitočtové oblasti,
b) Rozložení koeficientů odezvy kvadratické složky filtru pro délku odezvy L(2) = 5 a zobrazení patřičného buzení.

Na obr. 1a) je zobrazeno blokové schéma kvadratické komponenty Volterrova filtru pracujícím v kmitočtové oblasti s délkou odezvy systému

Volterr_23
Výraz M identifikuje pozici bloku v systému a jeho definice je uvedena na obr. 2a. V části b jsou zobrazeny koeficienty jednotlivých řezů dvojrozměrné odezvy ovlivňující příslušnou část vstupního signálu jak v časové tak kmitočtové oblasti. Kvadratickou část tohoto filtru můžeme zapsat pomocí obecné rovnice

Volterr_24
(10)

kde * představuje operaci cyklické konvoluce.

Systém pracující s vícenásobně zpožděným blokem dat

Filtry FLMS [4] využívají pro výpočet v kmitočtové oblasti konvolučních nebo korelačních technik označovaných v anglosaské literatuře jako “overlap-save” nebo “overlap-add” [3], [4]. Ve většině případů tvoří systém filtr s délkou impulsové odezvy danou velikostí zpracovávaného bloku vstupních dat. Takový to „dlouhý“ filtr má nevýhodné vlastnosti z hlediska citlivosti na kvantování výpočtů, rychlosti konvergence a stability systému [2]. Vylepšení rychlosti konvergence a stability přinášejí filtry MDF [3] pracujícími s mnoha krátkými lineárními filtry spojenými do jednoho bloku požadované délky impulsové odezvy. Každý filtr je v daném subbloku řízen adaptivně na daném úseku výsledné impulsové odezvy. Výsledná délka impulsové odezvy Lje daná součtem délek dílčích filtrů. Celkový počet zpožděných bloků v kaskádě je označen symbolem M. Pak pro délku FFT označenou N platí 2L/M. Hodnoty L,M volíme tak, aby byla délka filtru v daném subbloku celočíselná a měla výhodnou délku z hlediska výpočtu FFT. V prvním kroku je vstupní signál rin převeden do kmitočtové oblasti pomocí FFT

Volterr_25
(11)

Převod (11) je proveden pouze v tomto prvním kroku a do následujících bloků je dále jen překopírováván. Ostatní kombinace vstupního signálu jako např. kvadrát či jinak posunuté násobení v kvadratické složce filtru je prováděno pouze v kmitočtové oblasti. Pro výstupní chybový signál platí

Volterr_26
(12)

Volterr_27
(13)

kde W[m,j] je vektor koeficientů odezvy, yj uvedené ve vztahu (13) je omezeno na délku (N/2,N> a Sin,j představuje signál po průchodu rušivou soustavou v časovém okamžiku j. Z LMS kritéria pro výpočet korekce váhovacích koeficientů odezvy Volterrova filtru platí

Volterr_28
(14)

Volterr_29
(15)

Volterr_30
(16)

Volterr_31
(17)

kde

Volterr_32
a vyjadřuje příslušnou složku filtru,
Volterr_33
vyjadřuje index příslušného vektoru koeficientů filtru. Grafické znázornění je uvedeno na obr. 2a.

Volterr_34

Obrázek 2: a) Blokové schéma adaptivního Volterrova filtru realizovaného pomocí mnoha krátkých zpožděných bloků v kmitočtové oblasti, kde S/P je sériově paralelní a P/S je paralelně sériový převodník, b) Obecné schéma systému pro potlačování akustické ozvěny v telekomunikační technice, c) Proměnné vstupující/vystupující do/z jednotlivých adaptivních bloků.

Každý Volterrův filtr z blokového schématu na obr. 2a představuje výpočet jednoho sloupce koeficientů kvadratické odezvy systému zobrazené na obr. 3. První filtr představuje výpočet koeficientů pro kombinace bloků (MxM, Mx(M-1), ..., Mx1), druhý filtr pro kombinace ((M-1)x(M-1), (M-1)x(M-2), ..., (M-1)x1), atd. Celkový počet bloků potřebných pro výpočet všech koeficientů odezvy systému je

Volterr_35
(18)

Volterr_36

Obrázek 3: Rozdělení dvojrozměrné odezvy Volterrova filtru na jednotlivé subbloky a jejich indexace. Délka odezvy systému je označena symbolem L, délka subbloku M. Indexy r a s jednoznačně určují daný koeficient odezvy systému W.

Simulace

V simulaci je porovnávána výše navržená bloková struktura filtru pracujícím v kmitočtové oblasti s délkou odezvy systému L=128 a M=24 se stejným filtrem pro L=128 a M=24. Vstupní signál má vlastnosti normálního rozdělení se směrodatnou odchylkou

Volterr_37
Rušivá soustava je popsána rovnicí

Volterr_38
(19)

Rovnici rušivé soustavy lze zvolit libovolně při dodržení podmínky celkové délky odezvy systému a použitím nejvýše kvadratických členů. Pro výpočet výsledných konvergenčních charakteristik je použit algoritmus používající normalizovanou střední kvadratickou odchylky pruměrovanou přes deset nezávislých měření v dB danou

Volterr_39
(20)

Na obr. 4 jsou zobrazeny konvergenční charakteristiky daných adaptivních filtrů. Při použití kratšího bloku je patrná rychlejší konvergence výsledného filtru, kterou zajišťuje koeficient M/2 (násobící konstanta) v rovnici (17). Při použití stejné hodnoty násobící konstanty vypočtené s použitím krátkých filtrů pro dlouhé filtry bude tato adaptivní soustava vykazovat vysokou míru divergence. Násobící konstanta M/2 byla stanovena experimentálně za použití simulací pro normální rozdělení vstupního signálu se směrodatnou odchylkou

Volterr_40
jako mezní hodnota, kdy systém pro deset nezávislých měření nevykazoval konvergenci.

Volterr_41

Obrázek 4: Konvergenční charakteristika výsledného adaptivního filtru popsaného na obr. 2a pro různý počet vnitřních bloků.

Závěr

Použití Volterrova filtru druhého řádu v kmitočtové oblasti přináší nové možnosti při potlačování akustické ozvěny v telekomunikacích. Kvadratická komponenta sleduje další nelineární vazby rušivé soustavy, které dokáže lépe aproximovat a tedy i lépe potlačit. Použití blokové struktury přináší zlepšení rychlosti konvergence a zvýšení stability celé soustavy v důsledku použití kratších filtrů. Krátké vstupní bloky také snižují velikost zpoždění danou S/P převodníkem na vstupu soustavy. Další krok bude zaměřen na zjednodušení výpočtu aktualizace jednotlivých koeficientů odezvy Volterrova filtru. Tato výpočetní náročnost roste exponenciálně s délkami filtrů v jednotlivých složkách a s počtem těchto složek.

Poděkování

Tato práce byla podpořena výzkumným záměrem Výzkum perspektivních informačních a komunikačních technologií MSM6840770014.

Reference

[1] A. Borys, “Discrete Volterra Series and Nonlinear Echo Cancellation”, Book, CRC Press LLC, London, 2001.
[2] F. Kuch, “Adaptive Polynomial Filters and their Application to Nonlinear Acoustic Echo Cancellation”, Doktor-Ingenieur, Der Technischen Fakultat der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurumberg zur Erlangung des Grades, Erlangen, 2005.
[3] J. Sien, K.K. Pang, “Multidelay Block Frequency Domain Adaptive Filter”, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. 38, pp. 373-376, No. 2, February 1990.
[4] J.J. Shynk, “Frequency-Domain and Multirate Adaptive Filtering”, IEEE SP MAGAZINE, pp. 1-37, January, 1992.
[5] M. Zeller, W. Kellermann, “Fast Adaptation of Frequency-domain Volterra Filters Using Inherent Recursions of Iterated Coefficient Updates”, University of Erlangen-Nuernberg, EURASIP, 2007.
[6] F. Kuech, W. Kellermann, Member, IEEE, “Partioned Block Frequency- Domain Adaptive Second-ord Volterra Filter”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 53, No. 2, February 2005.
[7] J. Uhlíř, P. Sovka, “Číslicové zpracování signálů”, Vydavatelství ČVUT, Praha 2002, ISBN 80-01-02613-2.



Autor:        K. Uhlář, P. Zahradník
Pracoviště: České vysoké učení technické v Praze, FEL

Informační e-mail Vytisknout článek
Projekty a aktuality
01.03.2012: PROJEKT
Výzkum a vývoj nového komunikačního systému s vícekanálovým přístupem a mezivrstvovou spoluprací pro průmyslové aplikace TA02011015

01.01.2012: PROJEKT
Vývoj adaptabilních datových a procesních systémů pro vysokorychlostní, bezpečnou a spolehlivou komunikaci v extrémních podmínkách VG20122014095

09.10.2010: PROJEKT
Výzkum a vývoj datového modulu 10 Gbit/s pro optické a mikrovlnné bezdrátové spoje, FR-TI2/621

09.01.2010: PROJEKT
Sítě s femtobuňkami rozšířené o řízení interference a koordinaci informací pro bezproblémovou konektivitu, FP7-ICT-2009-4 248891

09.11.2008: PROJEKT
Ochrana člověka a techniky před vysokofrekvenčním zářením, FI-IM5/202

20.06.2008: Schválení
Radou pro výzkum a vývoj jako recenzovaný časopis

01.04.2007: PROJEKT
Pokročilá optimalizace návrhu komunikačních systémů pomocí neuronových sítí, GA102/07/1503

01.07.2006: Doplnění sekce pro registrované

12.04.2005: Zavedeno recenzování článků

30.03.2005: Výzkumný záměr
Výzkum perspektivních informačních a komunikačních technologií MSM6840770014

29.11.2004: Přiděleno ISSN

04.11.2004: Spuštění nové podoby Access serveru

18.10.2004: PROJEKT
Optimalizace přenosu dat rychlostí 10 Gbit/s, GA102/04/0773

04.09.2004: PROJEKT
Specifikace kvalitativních kritérií a optimalizace prostředků pro vysokorychlostní přístupové sítě, NPV 1ET300750402

04.06.2004: PROJEKT
Omezující faktory při širokopásmovém přenosu signálu po metalických párech a vzájemná koexistence s dalšími systémy, GA102/03/0434

Web site powered by phpRS PHP Scripting Language MySQL Apache Web Server

NAVRCHOLU.cz

Tento web site byl vytvořen prostřednictvím phpRS - redakčního systému napsaného v PHP jazyce.
Na této stránce použité názvy programových produktů, firem apod. mohou být ochrannými známkami
nebo registrovanými ochrannými známkami příslušných vlastníků.